Question

（1）設(shè)函數(shù)F（x）=（-x²-2x-1）e^-x，x∈R．求函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）證明函數(shù)f(x)=

∫

x -x

(ex+e-x)dx在R上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)小于0求解x的取值集合即可得到函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由微積分基本定理求出f（x），再由f（x）的導(dǎo)函數(shù)恒大于0證明函數(shù)f(x)=

∫

x -x

(ex+e-x)dx在R上是增函數(shù)．

解答： （1）解：由F（x）=（-x²-2x-1）e^-x，x∈R，得
F'（x）=（-x²-2x-1）′e^-x+（-x²-2x-1）（e^-x）′
=（-2x-2）e^-x-（-x²-2x-1）e^-x
=e^-x（x²-1），
令F'（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）；
（2）證明：∵f(x)=

∫

x -x

(ex+e-x)dx=(ex-e-x

)|

x -x

=2（e^x-e^-x），
∴f′（x）=2（e^x+e^-x）＞0．
∴函數(shù)f(x)=

∫

x -x

(ex+e-x)dx在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了定積分，關(guān)鍵是明確導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，是中低檔題．