Question

甲、乙、丙三個人獨立地翻譯同一份密碼，每人譯出此密碼的概率依次為0.4，0.35，0.3．設(shè)隨機(jī)變量X表示譯出此密碼的人數(shù)．求：
（1）恰好有2個人譯出此密碼的概率P（X=2）；   
（2）此密碼被譯出的概率P（X≥1）．

Answer 1

考點：相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：根據(jù)題意，記“第i個人破譯出密碼”為事件A₁（i=1，2，3），分析可得三個事件的概率且三個事件相互獨立；
（1）設(shè)“恰好二人破譯出密碼”為事件B，則B包括彼此互斥的A₁•A₂•

.

A3

+A₁•

.

A2

•A₃+

.

A1

•A₂•A₃，由互斥事件的概率公式與獨立事件的乘法公式計算可得答案；
（2）設(shè)“密碼被破譯”為事件C，“密碼未被破譯”為事件D，則D=

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

，由獨立事件的乘法公式計算可得D的概率，再由對立事件的概率公式可得C的概率，比較可得答案．

解答： 解：記“第i個人破譯出密碼”為事件A_i（i=1，2，3），
依題意有P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.35，P（A₃）=0.3，
且A₁，A₂，A₃相互獨立．
（1）設(shè)“恰好二人破譯出密碼”為事件B，則有
B=A₁•A₂•

.

A3

+A₁•

.

A2

•A₃+

.

A1

•A₂•A₃，且e₁•A₂•

.

A3

，A₁•

.

A2

•A₃，

.

A1

•A₂•A₃彼此互斥
于是P（B）=P（A₁•A₂•

.

A3

）+P（A₁•

.

A2

•A₃）+P（

.

A1

•A₂•A₃）
=0.4×0.35×（1-0.3）+0.4×（1-0.35）×0.3+（1-0.4）×0.35×0.3=0.239．
答：恰好二人破譯出密碼的概率為0.239．
（2）設(shè)“密碼被破譯”為事件C，“密碼未被破譯”為事件D．
D=

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

，且

.

A1

，

.

A2

，

.

A3

互相獨立，則有
P（D）=P（

.

A1

）•P（

.

A2

）•P（

.

A3

）=（1-0.4）（1-0.35）（1-0.3）=0.273．
而P（C）=1-P（D）=1-0.273=0.727，
答：此密碼被譯出的概率為0.727．

點評：本題主要考查概率的基本知識與分類思想，考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，難點在于對于恰有二人破譯出密碼的事件分類不清．