Question

16．如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面DEBC為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=$\sqrt{2}$，AB=AC．
（1）求證：BE⊥面ABC；
（2）設(shè)△ABC為等邊三角形，求直線CE與平面ABE所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由已知得BE⊥BC，由此能證明BE⊥面ABC．
（2）由BE⊥面ABC，取AB的中點H，連接EH，則∠CEH是直線CE與平面ABE所成角，由此能求出直線CE與平面ABE所成角的大�。�

解答 （1）證明：∵底面BCDE為矩形，∴BE⊥BC．
∵側(cè)面ABC⊥底面BCDE，且交線為BC，BE?平面ABCD，
∴BE⊥面ABC．（5分）
（2）解：由（1）知BE⊥面ABC．
∵BE?平面ABE，
∴平面ABE⊥底面ABC，且交線為AB．
取AB的中點H，連接EH．∵ABC為等邊三角形
∴CH⊥AB，CH⊥平面ABE．
∴∠CEH是直線CE與平面ABE所成角．（9分）
在矩形BCDE中，CE=$\sqrt{6}$．在正△ABC中，CH=$\sqrt{3}$，
∴sin∠CEH=$\frac{CH}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$∠CEH=\frac{π}{4}$，
∴直線CE與平面ABE所成角的大小為$\frac{π}{4}$．（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．