Question

5．如圖，正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為CC₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線A₁C與EF所成角的余弦值．
（2）求直線BB₁與平面A₁C₁B所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD的棱長為2，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線A₁C與EF所成角的余弦值．
（2）求出平面A₁C₁B的法向量和$\overrightarrow{B{B}_{1}}$，利用向量法能求出直線BB₁與平面A₁C₁B所成角的正弦值．

解答 解：（1）設(shè)正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD的棱長為2，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為CC₁的中點(diǎn)，
∴A₁（2，0，2），C（0，2，0），E（2，1，0），F(xiàn)（0，2，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-2），$\overrightarrow{EF}$=（-2，1，1），
設(shè)異面直線A₁C與EF所成角為θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{EF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{EF}|}$|=|$\frac{4}{\sqrt{12}•\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴異面直線A₁C與EF所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（2）B（2，2，0），B₁（2，2，2），A₁（2，0，2），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2），
設(shè)平面A₁C₁B的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
設(shè)直線BB₁與平面A₁C₁B所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{B{B}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{B{B}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{B{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2}{2\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線BB₁與平面A₁C₁B所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．