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如圖，已知AB為圓O的一條直徑，以端點B為圓心的圓交直線AB于C、D兩點，交圓O于E、F兩點，過點D作垂直于AD的直線，交直線AF于H點．
（Ⅰ）求證：B、D、H、F四點共圓；
（Ⅱ）若AC=2，AF=2
2
，求△BDF外接圓的半徑．
考點：圓內接多邊形的性質與判定,與圓有關的比例線段
專題：直線與圓
分析：（Ⅰ）由已知條件推導出BF⊥FH，DH⊥BD，由此能證明B、D、F、H四點共圓．
（2）因為AH與圓B相切于點F，由切割線定理得AF2=AC•AD，解得AD=4，BF=BD=1，由△AFB∽△ADH，得DH=
2
，由此能求出△BDF的外接圓半徑．
解答： （Ⅰ）證明：因為AB為圓O一條直徑，所以BF⊥FH，…（2分）
又DH⊥BD，
故B、D、F、H四點在以BH為直徑的圓上，
所以B、D、F、H四點共圓．…（4分）
（2）解：因為AH與圓B相切于點F，
由切割線定理得AF2=AC•AD，即（2
2
）2=2•AD，
解得AD=4，…（6分）
所以BD=
1
2
(AD-AC)=1，BF=BD=1，
又△AFB∽△ADH，
則
DH
BF
=
AD
AF
，得DH=
2
，…（8分）
連接BH，由（1）知BH為DBDF的外接圓直徑，
BH=
BD2+DH2
=
3
，
故△BDF的外接圓半徑為
3
2
．…（10分）
點評：本題考查四點共圓的證明，考查三角形處接圓半徑的求法，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知：在△ABC中，內角∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，若a=2，sinA=
21
7
，∠C=
π
3
，求△ABC的外接圓與內切圓半徑之比．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知n∈N*，設函數fn（x）=1-x+
x2
2
-
x3
3
+…-
x2n-1
2n-1
，x∈R．
（1）求函數g（x）=x2•f1（x），x∈[0，2]的最值．（其中f1（x）=1-x）；
（2）求函數y=f2（x）-kx（k∈R）的單調區(qū)間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

畫出函數y=x2-2|x|-1的圖象，并說明該圖象與y=x2-2x-1的圖象的關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數m、n作為點P的坐標（m，n），求：
（1）點P在直線x+y=7上的概率；
（2）點P在圓x2+y2=25外的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面ADD1A1；
（Ⅱ）若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為
6
7
，求k的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0），直線l交橢圓C與P，Q兩點．
（Ⅰ）若k=1，橢圓C經過點（
2
，1），直線l經過橢圓C的焦點和頂點，求橢圓方程；
（Ⅱ）若k=
1
2
，b=1，且kOP，k，kOQ成等比數列，求三角形OPQ面積S的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在棱長為1的正方形ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分別為A1B1、BB1、CC1的中點．
（1）證明D1M、C1B1、CN三線共點；
（2）求異面直線D1P與AM所成角度數并求CN與AM所成角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．
（1）證明：AB∥平面SDC
（2）證明：SD⊥平面SAB
（3）求A點到平面SBC的距離．

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