Question

如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=6

6

，高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B，D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB，現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，記BE=x，S（x）表示△BEF的面積，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積．
（Ⅰ）求S（x）和V（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng)x為何值時(shí)，V（x）取得最大值？
（Ⅲ）說(shuō)明異面直線AP與EF所成的角θ與x的變化是否有關(guān)系，若無(wú)關(guān)，寫出θ的值（不必寫出理由與過(guò)程）．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（ I）由折起的過(guò)程知，PE⊥平面ABC，由此能求出S（x）和V（x）的表達(dá)式．
（ II）V′(x)=

6

3

(9-

1

4

x2)，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得x=6時(shí)，V（x）取得最大值12

6

．
（Ⅲ）異面直線AP與EF所成的角θ與x的變化無(wú)關(guān)，θ=

π

2

．

解答： 解：（ I）由折起的過(guò)程知，
PE⊥平面ABC，
S△ABC=9

6

，
S△BEF=

x2

54

•S△BDC=

6

12

x2
V（x）=

6

3

x(9-

1

12

x2)（0＜x＜3

6

）．…（5分）
（ II）V′(x)=

6

3

(9-

1

4

x2)，
所以x∈（0，6）時(shí)，v'（x）＞0，V（x）單調(diào)遞增；
6＜x＜3

6

時(shí)v'（x）＜0，V（x）單調(diào)遞減；
因此x=6時(shí)，V（x）取得最大值12

6

；…（10分）
（Ⅲ）異面直線AP與EF所成的角θ與x的變化無(wú)關(guān)，θ=

π

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形面積和四棱錐體積的求法，考查體積的最大值的求法，考查異面直線所成的角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．