Question

10．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為G（x）（萬(wàn)元），其中固定成本為2.8萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．銷售收入R（x）（萬(wàn)元）滿足R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x（0≤x≤5）}\\{0.05x+11（x＞5）}\end{array}\right.$，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：
（1）寫出利潤(rùn)函數(shù)y=f（x）的解析式（利潤(rùn)=銷售收入-總成本）；
（2）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多？

Answer 1

分析 （1）由題意得G（x）=2.8+x，由R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x，0≤x≤5}\\{0.05x+11，x＞5}\end{array}\right.$，f（x）=R（x）-G（x），能寫出利潤(rùn)函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x＞5時(shí)，由函數(shù)f（x）遞減，知f（x）＜f（5）=3.45（萬(wàn)元）．當(dāng)0≤x≤5時(shí)，函數(shù)f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值為3.6（萬(wàn)元）．由此能求出工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多．

解答 解：（1）由題意得G（x）=2.8+x，
∵R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x，0≤x≤5}\\{0.05x+11，x＞5}\end{array}\right.$，
∴f（x）=R（x）-G（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+3.2x-2.8，0≤x≤5}\\{8.2-0.95x，x＞5}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)x＞5時(shí)，∵函數(shù)f（x）遞減，∴f（x）＜f（5）=3.45（萬(wàn)元）．
當(dāng)0≤x≤5時(shí)，函數(shù)f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，
所以當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最大值為3.6（萬(wàn)元）．  
所以當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最大，且最大值為3.6萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了總成本=固定成本+生產(chǎn)成本、利潤(rùn)=銷售收入-總成本、分段函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題．