Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}sin（x+φ），0＜φ＜\frac{π}{2}$，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知$f（α-\frac{π}{4}）+f（α+\frac{π}{4}）=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，且$\frac{3π}{2}$＜α＜2π，求sinα-cosα．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=1求出φ的值即得三角函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)三角函數(shù)值求出角的取值范圍，再計算三角函數(shù)值．

解答 解：（1）∵$f（0）=\sqrt{2}sinφ=1$，∴$sinφ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又∵$0＜φ＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{4}$，
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$；
（2）∵$f（α-\frac{π}{4}）+f（α+\frac{π}{4}）=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$
∴$\sqrt{2}sinα+\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{2}）=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，
∴$sinα+cosα=\frac{4}{5}$，
∴${（sinα+cosα）^2}=\frac{16}{25}$，
∴$2sinα•cosα=-\frac{9}{25}$，
∴${（sinα-cosα）^2}=1-2sinαcosα=\frac{34}{25}$；
又$\frac{3π}{2}＜α＜2π$，
∴$sinα-cosα=-\frac{{\sqrt{34}}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了求三角函數(shù)的解析式以及根據(jù)三角函數(shù)值求值的應(yīng)用問題，是中檔題目．