Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²-x
（1）若a=-

1

4

，求證：f（x）有且只有2個(gè)零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，證明函數(shù)在（-

2

3a

，-

1

3a

）上不存在零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：

分析：（1）若a=-

1

4

，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，證明函數(shù)的一個(gè)極值等于0，即可證明f（x）有且只有2個(gè)零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，證明函數(shù)在（-

2

3a

，-

1

3a

）是單調(diào)的，確定短點(diǎn)值的符號(hào)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）若a=-

1

4

，則f（x）=-

1

4

x³+x²-x，
則f′（x）=-

3

4

x²+2x-1，
由f′（x）=-

3

4

x²+2x-1＞0得

2

3

＜x＜2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=-

3

4

x²+2x-1＜0得x＜

2

3

或x＞2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=

2

3

，函數(shù)取得極小值f（

2

3

）=-

2

27

＜0，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得極大值f（2）=0，
則f（x）有且只有2個(gè)零點(diǎn)．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=3ax²+2x-1，
由f′（x）=3ax²+2x-1=0=3a（x+

1

3a

）²-

3a+1

3a

，
對(duì)稱軸為x=-

1

3a

，所以所給區(qū)間（-

2

3a

，-

1

3a

）在對(duì)稱軸左側(cè)，
最小值為f′（-

1

3a

）=-

3a+1

3a

，
因?yàn)閍＞0，所以f′（-

1

3a

）=-

3a+1

3a

＜0，
即在區(qū)間（-

2

3a

，-

1

3a

）上，f'（x）＜0恒成立，
所以所給區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
f（-

2

3a

）=

18a+4

27a2

＞0，f（-

1

3a

）=

3a+4

27a2

＞0，
所以在這個(gè)單調(diào)區(qū)間上無零點(diǎn)．
即函數(shù)在（-

2

3a

，-

1

3a

）上不存在零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和極值之間的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)難度較大．