【題目】已知函數(shù)．（是自然對數(shù)的底數(shù)，）

（1）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個零點；

（2）設(shè)是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線．

【答案】（1）單調(diào)遞增，證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域為，利用導數(shù)得出函數(shù)在和上均為增函數(shù)，并利用零點存在定理得出函數(shù)在上有一個零點，得出，再證明出也滿足方程，從而得出函數(shù)有兩個零點；

（2）由題意得出，利用這個關(guān)系式得出函數(shù)在點處的切線斜率為，從而證明出題中結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域為，，

所以，函數(shù)在、上單調(diào)遞增.

又，.

所以，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點，即，即.

又，，

因此，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點.

綜上所述，有且僅有兩個零點；

（2）因為 ，所以點在曲線上.

由題設(shè)，即.

所以直線的斜率

因為曲線在點處切線的斜率是，

曲線在點處切線的斜率也是，

因此，曲線在點處的切線也是曲線的切線.

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)，，

（1）若函數(shù)f（x）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若a=3，且對任意的x1∈[-1，2]，總存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：

①是偶函數(shù)；②在區(qū)間單調(diào)遞減；

③在有個零點；④的最大值為.

其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）

A.①②④B.②④C.①④D.①③

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【題目】兩個函數(shù)在公共定義域上恒有，則稱這兩個函數(shù)是該區(qū)間上的“同步函數(shù)”.

（1）試判斷與是否為公共定義域上的“同步函數(shù)”？

（2）已知函數(shù)與是公共區(qū)域上的“同步函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

（3）已知與在上是“同步函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓的左、右兩個焦點分別為設(shè)，若為正三角形且周長為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若過點且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點，是否存在實數(shù)使成立，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

(3)若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點兩點，記的面積記為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列與滿足.

（1）若，求數(shù)列的通項公式；

（2）若且數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列，求q的值，使數(shù)列也是等比數(shù)列；

（3）若且，數(shù)列有最大值M與最小值，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的長軸是短軸的兩倍，點在橢圓上．不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點，設(shè)直線OA、l、OB的斜率分別為、、，且、、恰好構(gòu)成等比數(shù)列．

（Ⅰ）求橢圓C的方程．

（Ⅱ）試探究是否為定值？若是，求出這個值；否 則求出它的取值范圍．

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