Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|-

9

x

+a，x∈[1，6]，a∈R．
（1）若a=1，試判斷并用定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a∈（1，6）時，求函數(shù)f（x）的最大值的表達(dá)式M（a）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時，由x∈[1，6]，化簡f（x），用單調(diào)性定義討論f（x）的增減性；
（2）由a∈（1，6）知，f（x）=

2a-(x+ 9 x )，  1≤x≤a x- 9 x ，     a＜x≤6

，分1＜a≤3與3＜a＜6討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求得f（x）的最大值M（a）．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1，x∈[1，6]時，f（x）為增函數(shù)，
證明：∵f（x）=x-

9

x

，任取x₁，x₂∈[1，6]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=(x1-

9

x1

)-(x2-

9

x2

)=

(x1-x2)(x1x2+9)

x1x2

＜0，
∴f（x）在[1，6]是增函數(shù)；
（2）∵a∈（1，6），∴f（x）=

2a-(x+ 9 x )，  1≤x≤a x- 9 x ，     a＜x≤6

，
①當(dāng)1＜a＜3時，f（x）在[1，a]上是增函數(shù)，在[a，6]上也是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=6時，f（x）取得最大值

9

2

，
②當(dāng)3＜a＜6時，f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，在[3，a]上是減函數(shù)，在[a，6]上是增函數(shù)，
而f（3）=2a-6，f（6）=

9

2

，
當(dāng)3＜a≤

21

4

時，2a-6≤

9

2

，當(dāng)x=6時，f（x）取得最大值為

9

2

．
當(dāng)

21

4

≤a＜6時，2a-6＞

9

2

，當(dāng)x=3時，f（x）取得最大值為2a-6．
綜上得，M（a）=

9 2 ，(1＜a≤ 21 4 ) 2a-6，( 21 4 ＜a＜6)

點(diǎn)評：本題考查了含絕對值的函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明以及函數(shù)的最值的求法問題，也考查了分類討論思想與化歸思想．