Question

已知曲線C：y²=2x-4．
（1）求曲線C在點A（3，

2

）處的切線方程；
（2）過原點O作直線l與曲線C交于A，B兩不同點，求線段AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）y＞0時，y=

2x-4

，求導數，可得切線的斜率，從而可求曲線C在點A（3，

2

）處的切線方程；
（2）設l：y=kx代入y²=2x-4，利用韋達定理，結合中點坐標公式，即可求出線段AB的中點M的軌跡方程．

解答： 解：（1）y＞0時，y=

2x-4

，
∴y′=

1

2x-4

，
∴x=3時，y′=

2

2

，
∴曲線C在點A（3，

2

）處的切線方程為y-

2

=

2

2

（x-3），即x-

2

y-1=0；
（2）設l：y=kx，M（x，y），則
y=kx代入y²=2x-4，可得k²x²-2x+4=0，
∴△=4-16k²＞0，∴

1

2k2

＞2
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2

k2

，
∴y₁+y₂=

2

k

∴x=

1

k2

，y=

1

k

，
∴y²=x（x＞4）．

點評：本題考查導數的幾何意義，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關鍵．