Question

14．已知x≥1，求函數(shù)y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2（a＞0）的最小值．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2=2（x²+$\frac{\frac{a}{2}}{{x}^{2}}$）-2，從而分類討論以確定函數(shù)的性質(zhì)，從而結(jié)合基本不等式求解．

解答 解：y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2=2（x²+$\frac{\frac{a}{2}}{{x}^{2}}$）-2，
①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，0＜$\frac{a}{2}$≤1；
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得，
y=2（x²+$\frac{\frac{a}{2}}{{x}^{2}}$）-2在[1，+∞）上是增函數(shù)，
故y_min=2+a-2=a；
②當(dāng)a＞2時(shí)，$\frac{a}{2}$＞1，
由基本不等式可得，
y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2≥2$\sqrt{2a}$-2，
（當(dāng)且僅當(dāng)x²=$\frac{\sqrt{2a}}{2}$時(shí)，等號(hào)成立）；
故函數(shù)y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2（a＞0）的最小值為2$\sqrt{2a}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的化簡(jiǎn)與應(yīng)用，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．