Question

在如圖所示的幾何體中，平面CDEF為正方形，平面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC=

3

，AB=2BC=2，AC⊥FB．
（1）求證：AC⊥平面FBC；
（2）求四面體FBCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）利用（1）的結(jié)論可得AC⊥CF，又CF⊥CD，利用線面垂直的判定定理即可得出FC⊥平面ABCD．利用等腰梯形的性質(zhì)即可得出△BCD的面積，利用三棱錐的體積公式即可得出．

解答： （1）證明：在△ABC中，∵AC=

3

，AB=2，BC=1，∴AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC．
∵AC⊥FB，BC∩FB=B，∴AC⊥平面FBC．
（2）解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．
∵CD⊥FC，AC∩CD=C，
∴FC⊥平面ABCD．
在等腰梯形ABCD中可得CB=DC=1，∴FC=1．
∴△BCD的面積S=

1

2

BD•

BC2-( 1 2 BD)2

=

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

．
∴四面體FBCD的體積為：VF-BCD=

1

3

S•FC=

3

12

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理、等腰梯形的性質(zhì)、三棱錐的體積公式是解題的關(guān)鍵．