Question

8．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，f（x）的最大值為2+$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式及兩角和的正弦變形，然后由復合函數(shù)的單調(diào)性求得求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由x的范圍求得相位的范圍，進一步得到函數(shù)的最大值求得a．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+sin2x+a=1+cos2x+sin2x+a
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+a+1$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得：$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ，k∈Z$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ$]，k∈Z；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{7π}{12}]$，
∴$f（x）_{max}=\sqrt{2}+a+1=2+\sqrt{2}$，即a=1．

點評 本題考查三角函數(shù)值的恒等變換應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．