Question

3．已知橢圓C的兩焦點分別為F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{2}$，0），長軸長為6．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C與A、B兩點，求線段AB的長度．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的焦點和長軸長，可得c=2$\sqrt{2}$，a=3，再由a，b，c的關系可得b=1，進而得到橢圓方程；
（2）求得直線方程y=x+2代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，計算即可得到所求．

解答 解：（1）由F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{2}$，0），長軸長為6，
得：$c=2\sqrt{2}，a=3$，所以b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可知橢圓方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$①，
∵直線AB的方程為y=x+2②，
把②代入①得化簡并整理得10x²+36x+27=0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{18}{5}，{x_1}{x_2}=\frac{27}{10}$，
則$|{AB}|=\sqrt{（{1+{1^2}}）（{\frac{{{{18}^2}}}{5^2}-4×\frac{27}{10}}）}=\frac{{6\sqrt{3}}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．