Question

13．已知橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），點(diǎn)F₁（-1，0）、C（-2，0）分別是橢圓M的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₁的直線l（不與x軸重合）交M于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得點(diǎn)B在以線段F₁C為直徑的圓上，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由F₁（-1，0），C（-2，0）得：$a=2，b=\sqrt{3}$，即可求出橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）通過(guò)設(shè)B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），利用$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BC}=（-1-{x_0}，-{y_0}）•（-2-{x_0}，-{y_0}）$=$2+3{x_0}+{x_0}^2+{y_0}^2$=$\frac{1}{4}{x_0}^2+3{x_0}+5=0$，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由F₁（-1，0），C（-2，0）得：$a=2，b=\sqrt{3}$．…（4分）
所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），則$\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{y_0}^2}}{3}=1$，…（6分）
因?yàn)镕₁（-1，0），C（-2，0），
所以$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BC}=（-1-{x_0}，-{y_0}）•（-2-{x_0}，-{y_0}）$=$2+3{x_0}+{x_0}^2+{y_0}^2$
=$\frac{1}{4}{x_0}^2+3{x_0}+5=0$…（9分）
解得：x₀=-2或-10…（10分）
又因?yàn)?2＜x₀＜2，所以點(diǎn)B不在以F₁C為直徑的圓上，
即不存在直線點(diǎn)l，使得點(diǎn)B在以線段F₁C為直徑的圓上．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．