Question

已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁．AC₁分別與平面A₁BD、平面CB₁D₁交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．給出以下命題：
①平面A₁BD∥平面CB₁D₁；
②若∠A₁AD=∠A₁AB=∠DAB，AD=AB=AA₁，則直線A₁D與CD₁所成角為

π

3

；
③點(diǎn)E，F(xiàn)為線段AC₁的兩個(gè)三等分點(diǎn)；
④E為△A₁BD的內(nèi)心．
其中真命題的序號(hào)是

 

（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：利用空間線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解．

解答： 解：∵A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，
A₁D∩A₁D=A₁，
∴平面A₁BD∥平面CB₁D₁，故①正確；
∵∠A₁AD=∠A₁AB=∠DAB，AD=AB=AA₁，
∴△A₁BD是等邊三角形，
∵A₁B∥D₁C，∴直線A₁D與CD₁所成角為∠BA₁D，
∴直線A₁D與CD₁所成角為

π

3

，故②正確；
連接A₁C₁，A₁C，AC，設(shè)AC₁與A₁C交于O點(diǎn)，
連接A₁E并延長(zhǎng)交AC于H點(diǎn)，
由平行四邊形對(duì)角線互相平分得OA=OC₁，
又A₁H是面A₁DB與面A₁AC的交線，
所以H為AC與BD的交點(diǎn)，即為中點(diǎn)，從而E為△A₁AC的重心，
A₁E=2EH，AE=2OE，又OE=OF，從而AE=EF，
同理可得C₁F=2OF，所以點(diǎn)E，F(xiàn)為線段AC₁的兩個(gè)三等分點(diǎn)，故③正確；
由③的分析可得：E為△A₁BD的重心，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行六面體的性質(zhì)，考查面面平行的判定和性質(zhì)，空間向量基本定理，考查三棱錐的體積計(jì)算，是一道空間幾何的綜合題，本題屬于中檔題．