Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為a₁，且1，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和，若對(duì)于任意的n∈N⁺，總有T_n＜m-

4

3

成立，求m的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)1，a_n，S_n成等差數(shù)列，建立條件關(guān)系，利用構(gòu)造法進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此能求出a_n．
（2）判斷數(shù)列{

1

an

}是等比數(shù)列，根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可解不等式．

解答： 解：（1）∵1，a_n，S_n成等差數(shù)列，
∴2a_n=S_n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁+1，∴a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1，
整理得

an

an-1

=2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=a₁•2^n-1=1•2^n-1=2^n-1．
（2）∵a_n=2^n-1，∴

1

an

=

1

2n-1

=(

1

2

)n-1為公比q=

1

2

的等比數(shù)列，
則T_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1，
由T_n＜m-

4

3

得2-(

1

2

)n-1＜m-

4

3

，
即m＞

10

3

-(

1

2

)n-1，
∵0＜(

1

2

)n-1≤1，∴-1≤-(

1

2

)n-1＜0，
則，∴-

7

3

≤-(

1

2

)n-1＜

10

3

，
∴m≥

10

3

．故m的最小值為

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力．