Question

【題目】π為圓周率，e＝2.718 28…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

(1)求函數(shù)f(x)＝ 的單調(diào)區(qū)間；

(2) 求e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)．

Answer 1

【答案】(1) 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞)；(2) 最大數(shù)是3π，最小數(shù)是3e.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)＝ 的單調(diào)區(qū)間.(2)先分析得到這6個(gè)數(shù)的最大數(shù)在π3與3π之中，最小數(shù)在3e與e3之中，再利用第1問的結(jié)論得到6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)是3π，最小數(shù)是3e.

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)．

因?yàn)?/span>f(x)＝，所以f′(x)＝.

當(dāng)f′(x)＞0，即0＜x＜e時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)f′(x)＜0，即x＞e時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞)．

(2)因?yàn)?/span>e＜3＜π，所以eln 3＜eln π，πl(wèi)n e＜πl(wèi)n 3，即ln 3e＜ln πe，ln eπ＜ln 3π.

于是根據(jù)函數(shù)y＝ln x，y＝ex，y＝πx在定義域上單調(diào)遞增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π.

故這6個(gè)數(shù)的最大數(shù)在π3與3π之中，最小數(shù)在3e與e3之中．

由e＜3＜π及(1)的結(jié)論，得f(π)＜f(3)＜f(e)，

即＜＜.

由＜，得ln π3＜ln 3π，所以3π＞π3；

由＜，得ln 3e＜ln e3，所以3e＜e3.

綜上，6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)是3π，最小數(shù)是3e.