【題目】π為圓周率，e＝2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù)．

(1)求函數(shù)f(x)＝ 的單調(diào)區(qū)間；

(2) 求e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)．

【答案】(1) 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞)；(2) 最大數(shù)是3π，最小數(shù)是3e.

【解析】

（1）利用導數(shù)求函數(shù)f(x)＝ 的單調(diào)區(qū)間.(2)先分析得到這6個數(shù)的最大數(shù)在π3與3π之中，最小數(shù)在3e與e3之中，再利用第1問的結論得到6個數(shù)中的最大數(shù)是3π，最小數(shù)是3e.

(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)．

因為f(x)＝，所以f′(x)＝.

當f′(x)＞0，即0＜x＜e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

當f′(x)＜0，即x＞e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞)．

(2)因為e＜3＜π，所以eln 3＜eln π，πl(wèi)n e＜πl(wèi)n 3，即ln 3e＜ln πe，ln eπ＜ln 3π.

于是根據(jù)函數(shù)y＝ln x，y＝ex，y＝πx在定義域上單調(diào)遞增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π.

故這6個數(shù)的最大數(shù)在π3與3π之中，最小數(shù)在3e與e3之中．

由e＜3＜π及(1)的結論，得f(π)＜f(3)＜f(e)，

即＜＜.

由＜，得ln π3＜ln 3π，所以3π＞π3；

由＜，得ln 3e＜ln e3，所以3e＜e3.

綜上，6個數(shù)中的最大數(shù)是3π，最小數(shù)是3e.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著經(jīng)濟的發(fā)展和人民生活水平的提高，以及城市垃圾分類收集的實施和推廣，我國居民生活垃圾的平均熱值逐年．上升，垃圾焚燒發(fā)電的噸上網(wǎng)電量（單位：千瓦時/噸）顯著增加．下表為某垃圾焚燒發(fā)電廠最近五個月的生產(chǎn)數(shù)據(jù)．

月份代碼

噸上網(wǎng)電量

若從該發(fā)電廠這五個月的生產(chǎn)數(shù)據(jù)（噸上網(wǎng)電量）中任選兩個，求其中至少有一個生產(chǎn)數(shù)據(jù)超過的概率；

通過散點圖（如圖）可以發(fā)現(xiàn)，變量與之間的關系可以用函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）來擬合，求常數(shù)，的值．

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量（）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1.469

108.8

表中，

（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方類型？給出判斷即可，不必說明理由

（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；

（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關系為根據(jù)（2）的結果回答下列問題：

①年宣傳費時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點為，原點為，橢圓的動弦過焦點且不垂直于坐標軸，弦的中點為，過且垂直于線段的直線交射線于點．

（1）證明：點在定直線上；

（2）當最大時，求的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，直線的極坐標方程為．

（1）求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；

（2）若是曲線上的動點，為線段的中點，求點到直線的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若存在一個實數(shù)，使得成立，則稱為函數(shù)的一個不動點，設函數(shù)（， 為自然對數(shù)的底數(shù)），定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足，且當時， .若存在，且為函數(shù)的一個不動點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，側(cè)面底面，且，為棱上一點，且．

（1）求證：平面；

（2）若二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，已知直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）若直線平行于直線，且與曲線只有一個公共點，求直線的方程；

（2）若直線與曲線交于兩點，，求的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某種氣墊船的最大航速是海里小時，船每小時使用的燃料費用和船速的平方成正比.若船速為海里小時,則船每小時的燃料費用為元，其余費用(不論船速為多少)都是每小時元。甲乙兩地相距海里，船從甲地勻速航行到乙地.

(1)試把船從甲地到乙地所需的總費用，表示為船速(海里小時)的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域;

(2)當船速為每小時多少海里時，船從甲地到乙地所需的總費用最少?最少費用為多少元?

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