Question

已知函數(shù)f（x）=（2cos²x-1）cosφ+sin2xsinφ（0＜φ＜π）的圖象過(guò)點(diǎn)（

π

12

，1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得φ，得到函數(shù)解析式．
（Ⅱ）利用圖象變換的性質(zhì)，求得g（x）的解析式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得其單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（I）f（x）=（2cos²x-1）cosφ+sin2xsinφ=cos2xcosφ+sin2xsinφ=cos（2x-φ），
∵f（x）圖象過(guò)點(diǎn)（

π

12

，1）
∴f（

π

12

）=cos（

π

6

-φ）=1，
∵0＜φ＜π，
∴-

5π

6

＜

π

6

-φ＜

π

6

，
∴

π

6

-φ=0即φ=

π

6

．
∴f（x）=cos（2x-

π

6

）．
（II）依題意可得g（x）=cos（4x-

π

6

），
當(dāng)2kπ≤4x-

π

6

≤2kπ+π（k∈Z）時(shí)，即

kπ

2

+

π

24

≤x≤

kπ

2

+

7π

24

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)單調(diào)減，
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

kπ

2

+

π

24

，

kπ

2

+

7π

24

]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．