Question

已知直線y=

x

2

與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于兩點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：由直線y=

x

2

與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于兩點(diǎn)，推導(dǎo)出4b²＞a²，由此能夠推導(dǎo)出離心率的取值范圍．

解答： 解：把直線y=

x

2

代入雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
并整理，得x2=

4a2b2

4b2-a2

，
∵直線y=

x

2

與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）交于兩點(diǎn)，
∴4b²＞a²，即b²＞

a2

4

，
∴c²=a²+b²＞a 2 +

a2

4

=

5a2

4

，
∴c＞

5

2

a，
∴e=

c

a

＞

5

2

．
故答案為：（

5

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意一元二次方程的解的個(gè)數(shù)的應(yīng)用．