Question

已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到兩個焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程，并寫出其焦點(diǎn)F₁、F₂的坐標(biāo)；
（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F₂任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且直線MA與直線MB關(guān)于x軸對稱，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論特征，猜想出關(guān)于所有橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個一般結(jié)論（不需證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得|AF₁|+|AF₂|=2a=4，

1

4

+

9 4

b2

=1，由此能求出橢圓C的方程和焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂．
（2）由題意，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（t，0），弦AB所在的直線方程為：y=k（x-1），則y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-8k²x+（4k²-12）=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）利用（2）中的結(jié)論特征進(jìn)行歸納總結(jié)，能夠猜想出關(guān)于所有橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個一般結(jié)論．

解答： 解：（1）∵|AF₁|+|AF₂|=2a=4，∴a=2，
又A（1，

3

2

）在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，
∴

1

4

+

9 4

b2

=1，解得b²=3，
∵c²=a²-b²=4-3=1，∴c=1，
∴橢圓C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1，焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
（2）由題意，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（t，0），
弦AB所在的直線方程為：y=k（x-1），
則y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
解方程組

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
由韋達(dá)定理，得x1+x2=

8k2

4k2+3

，①
x1x2=

4k2-12

4k2+3

，②
∵直線MA與直線MB關(guān)于x軸對稱，
∴k_AM+k_BM=0，∴

y1

x1-t

+

y2

x2-t

=0，
t=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

2x1x2-(x1+x2)

x1+x2-2

=

2× 4k2-12 4k2+3 - 8k2 4k2+3

8k2 4k2+3

=4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0）．
（3）過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₂（或左焦點(diǎn)F₁）任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且直線MA與直線MB關(guān)于x軸對稱，則點(diǎn)M為定點(diǎn)(

a2

c

，0)（或(-

a2

c

，0)）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查橢圓的一般性結(jié)論的猜想，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．