Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

．
（Ⅰ）寫出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，并用定義證明；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)，再用定義證明；
（Ⅱ）求出切線的斜率，切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=-

1

x2

，…（1分）
用定義證明如下：

f(x+d)-f(x)

d

=

1 x+d - 1 x

d

=

-1

x(x+d)

，…（5分）
讓d趨于0，上式趨于-

1

x2

．…（7分）
（Ⅱ）f（1）=1，故P（1，1）．…（8分）
由（Ⅰ）可知，曲線f（x）在點(diǎn)P處的切線斜率為k=f′（1）=-1，…（10分）
所以所求切線方程為y-1=-（x-1）…（12分）
即x+y-2=0．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及曲線的切線等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力、推理論證能力和極限思想．