Question

已知點(diǎn)A（0，-2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足

PA

•

PB

=y2-8，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與直線y=x+2交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；    
（2）求弦長(zhǎng)|CD|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A（0，-2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足

PA

•

PB

=y2-8，利用向量的數(shù)量積公式，化簡(jiǎn)，即可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；    
（2）聯(lián)立

y=x+2 x2=2y

可得x²-2x-4=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求弦長(zhǎng)|CD|．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)A（0，-2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足

PA

•

PB

=y2-8，
∴（-x，-2-y）•（-x，4-y）=y²-8，
∴x²+y²-2y-8=y²-8，化為x²=2y．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²=2y；
（2）聯(lián)立

y=x+2 x2=2y

可得x²-2x-4=0
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=2，x₁x₂=-4，
∴|CD|=

1+1

•

22-4•(-4)

=2

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解點(diǎn)的軌跡方程，直線與拋物線相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，主要考查了計(jì)算的能力．