Question

已知橢圓5x²+9y²=45，橢圓的右焦點(diǎn)為F，
（1）求過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)；
（2）判斷點(diǎn)A（1，1）與橢圓的位置關(guān)系，并求以A為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程利用由弦長(zhǎng)公式可得答案．
（2）設(shè)以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦與橢圓交于E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），A（1，1）為EF中點(diǎn)，x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，利用點(diǎn)差法能夠求出以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程．

解答： 解：（1）由題意可得：過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線方程為y=x-2，
聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：14x²-36x-9=0，
∴x₁+x₂=

18

7

，x₁•x₂=-

9

14

，
由弦長(zhǎng)公式可得：|MN|=

1+1

•

( 18 7 )2+ 36 14

=

30

7

（2）設(shè)以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦與橢圓交于E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
∵A（1，1）為EF中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）分別代入橢圓5x²+9y²=45，
得5x₁²+9y₁²=45，5x₂²+9y₂²=45
∴5（x₁+x₂）（x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴10（x₁-x₂）+18（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

5

9

，
∴以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程為：y-1=-

5

9

（x-1），
整理，得5x+9y-14=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，考查了弦長(zhǎng)問(wèn)題與弦中點(diǎn)問(wèn)題，正確運(yùn)用點(diǎn)差法是關(guān)鍵．