【題目】如圖， 
平面
， 
平面
， 
是等邊三角形， 
，
是
的中點.
（1）求證： 
；
（2）若直線
與平面
所成角的正切值為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
.
【解析】試題分析：⑴證明
， 
，推出
平面
，然后證明
；
⑵以點
為坐標原點， 
所在直線為
軸， 
所在直線為
軸，過
且與直線
平行的直線為
軸，建立空間直角坐標系
，說明
為直線
與平面
所成角，設
，求出相關點的坐標，求出平面
與平面
的法向量，利用空間向量的數量積求解即可；
解析：（1）因為
是等邊三角形， 
是
的中點，所
.
因為
平面
， 
平面
，所以
.
因為
，所以
平面
.
因為
平面
，所以
.
（2）法1：以點
為坐標原點， 
所在直線為
軸， 
所在直線為
軸，過
且與直線
平行的直線為
軸，建立空間直角坐標系
.
因為
平面
，所以
為直線
與平面
所成角.
得
，即
，從而
.
不妨設
，又
，則
， 
.故
， 
，
， 
.于是
，
， 
， 
，設平面
與平面
的法向量分別為
， 
，由
得
令
，得
，
所以
.由
得
令
得
， 
.所以
.
所以
.
所以二面角
的余弦值為
.
法2：因為
平面
，所以
為直線
與平面
所成角.
由題意得
，即
，從而
.
不妨設
，又
， 
， 
， 
.
由于
平面
， 
平面
，則
.
取
的中點
，連接
，則
.
在
中， 
，
在
中， 
，
在
中， 
，
取
的中點
，連接
， 
， 
，
則
， 
. 所以
為二面角
的平面角.
在
中， 
，在
中， 
，
在
中， 
，因為
，
所以
.所以二面角
的余弦值
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統文化中的動漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評.同時也為公司贏得豐厚的利潤，該公司2013年至2019年的年利潤
關于年份代號
的統計數據如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關）
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
年利潤 | 29 | 33 | 36 | 44 | 48 | 52 | 59 |
（1）求關于的線性回歸方程，并預測該公司2020年的年利潤；
（2）當統計表中某年年利潤的實際值大于由（1）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為A級利潤年，否則稱為B級利潤年.現從2015年至2019年這5年中隨機抽取2年，求恰有1年為A級利潤年的概率.
參考公式：
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定點
，定直線
，動點
到點
的距離比點到
的距離小1.
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點
的直線與（1）中軌跡C相交于兩個不同的點M、N，若
，求直線的斜率的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某智能手機制作完成之后還需要依次通過三道嚴格的審核程序，第一道審核、第二道審核、第三道審核通過的概率分別為
， 
， 
，每道程序是相互獨立的，且一旦審核不通過就停止審核，每部手機只有三道程序都通過才能出廠銷售．
（1）求審核過程中只通過兩道程序的概率；
（2）現有3部該智能手機進入審核，記這3部手機可以出廠銷售的部數為
，求
的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2018屆寧夏育才中學高三上學期期末】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入
萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），由于工作人員操作失誤，橫軸的數據丟失，但可以確定橫軸是從
開始計數的.
（1）根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；
（2）試估計該公司投入
萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值）；
（3）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數據，并整理得到下表：
由表中的數據顯示， 
與
之間存在著線性相關關系，請將（2）的結果填入空白欄，并求出
關于
的回歸直線方程.
參考公式： 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知F1、F2分別為雙曲線
的左、右焦點，若雙曲線左支上存在一點P，使得
=8a，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2017年是某市大力推進居民生活垃圾分類的關鍵一年，有關部門為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識”的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參與機會，通過抽樣，得到參與問卷調查中的1000人的得分數據，其頻率分布直方圖如圖所示：
(Ⅰ)估計該組數據的中位數、眾數；
(Ⅱ)由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分Z服從正態(tài)分布N(μ，210)，μ近似為這1000人得分的平均值(同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求P(50.5<Z<94)；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，有關部門為此次參加問卷調査的市民制定如下獎勵方案：
(i)得分不低于μ可獲贈2次隨機話費，得分低于μ則只有1次；
(ii)每次贈送的隨機話費和對應概率如下：
贈送話費(單元：元) | 10 | 20 |
概率 |
|
|
現有一位市民要參加此次問卷調查，記X(單位：元)為該市民參加.問卷調查獲贈的話費，求X的分布列和數學期望.
附： 
，
若ZN(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ+σ)= 0.6826，P(μ－2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.
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