【題目】在如圖所示的幾何體中,面為正方形,面為等腰梯形, , , , .
(I)求證: 平面.
(II)求與平面所成角的正弦值.
(III)線段上是否存在點,使平面平面?證明你的結(jié)論.
【答案】(I)見解析;(II);(Ⅲ)見解析..
【解析】試題分析:(Ⅰ)利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC,又AC⊥FB,利用線面垂直的判定定理即可證明;
(Ⅱ)通過建立空間直角坐標系,求平面EAC的法向量,利用所成的角即可得出;
(Ⅲ)分別求出兩個平面的法向量, ,若平面EAC⊥平面QBC,只需即可.
試題解析:
(Ⅰ)
證明:不妨設(shè)BC=1,
∵AB=2BC,∠ABC=60,
在△ABC中,由余弦定理可得AC2=22+122×2×1×cos60=3,
∴AC2+BC2=AB2,
∴AC⊥BC.
又∵AC⊥FB,CB∩BF=B,
∴AC⊥平面FBC.
(Ⅱ)∵AC⊥平面FBC,∴AC⊥FC.
∵CD⊥FC,∴FC⊥平面ABCD.
∴CA,CF,CB兩兩互相垂直,如圖建立的空間直角坐標系Cxyz.
在等腰梯形ABCD中,可得CB=CD.
設(shè)BC=1,所以C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),D(,12,0),E(,,1).
∴=(,,1), =(,0,0), =(0,1,0).
設(shè)平面EAC的法向量為=(x,y,z),則有.
∴.取z=1,得=(0,2,1).
設(shè)BC與平面EAC所成的角為θ,則.
所以BC與平面EAC所成角的正弦值為.
(Ⅲ)線段ED上不存在點Q,使平面EAC⊥平面QBC.證明如下:
假設(shè)線段ED上存在點Q,設(shè)Q(,12,t)(0t1),所以CQ→=(,,t).
設(shè)平面QBC的法向量為=(a,b,c),則有,
所以.取c=1,得=(t,0,1).
要使平面EAC⊥平面QBC,只需=0,
即t×0+0×2+1×1=0,此方程無解。
所以線段ED上不存在點Q,使平面EAC⊥平面QBC.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (e為自然對數(shù)的底).若函數(shù)g(x)=f(x)﹣kx恰好有兩個零點,則實數(shù)k的取值范圍是( )
A.(1,e)
B.(e,10]
C.(1,10]
D.(10,+∞)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】海水受日月的引力,在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮。一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。在通常情況下,船在漲潮時駛進航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮時返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天時間與水深(單位:米)的關(guān)系表:
時刻 | 0:00 | 3:00 | 6:00 | 9:00 | 12:00 | 15:00 | 18:00 | 21:00 | 24:00 |
水深 | 10.0 | 13.0 | 9.9 | 7.0 | 10.0 | 13.0 | 10.1 | 7.0 | 10.0 |
(1)請用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深y與時間t的函數(shù)關(guān)系;
(2)一般情況下,船舶航行時,船底離海底的距離為5米或5米以上認為是安全的(船舶?繒r,船底只要不碰海底即可)。某船吃水深度(船底離地面的距離)為6.5米。
Ⅰ)如果該船是旅游船,1:00進港希望在同一天內(nèi)安全出港,它至多能在港內(nèi)停留多長時間(忽略進出港所需時間)?
Ⅱ)如果該船是貨船,在2:00開始卸貨,吃水深度以每小時0.5米的速度減少,由于臺風等天氣原因該船必須在10:00之前離開該港口,為了使卸下的貨物盡可能多而且能安全駛離該港口,那么該船在什么整點時刻必須停止卸貨(忽略出港所需時間)?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)、是兩條不同的直線, , , 是三個不同的平面,給出下列四個命題:
①若, ,則 ②若, , ,則
③若, ,則 ④若, ,則
其中正確命題的序號是( ).
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得,則該幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓的圓心為,直線.
(1)求圓心的軌跡方程;
(2)若,求直線被圓所截得弦長的最大值;
(3)若直線是圓心下方的切線,當在上變化時,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分,(1)小問7分,(2)小問5分)
設(shè)函數(shù)
(1)若在處取得極值,確定的值,并求此時曲線在點處的切線方程;
(2)若在上為減函數(shù),求的取值范圍。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當時,函數(shù)與在處的切線互相垂直,求的值;
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),求的取值范圍;
(3)是否存在正實數(shù),使得對任意正實數(shù)恒成立?若存在,求出滿足條件的實數(shù);若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com