Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₉=4，函數(shù)f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₉）+2，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0）） 的切線的斜率為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到a₁a₉=a₂a₈=a₃a₇=a₄a₆，把已知的a₁=1，a₉=4代入，求出a₁•a₂•…•a₉的值，然后由函數(shù)解析式，利用求導(dǎo)法則求出f′（x），并把x=0代入導(dǎo)函數(shù)中，表示出f′（0），利用乘法運(yùn)算律整理后，將求出a₁•a₂•…•a₉的值代入，利用同底數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)后，得出f′（0）的值，即為函數(shù)在（0，f（0））處的斜率．

解答： 解：∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₉=4，
∴a₁a₉=a₂a₈=a₃a₇=a₄a₆=4=2²，
且f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₉）+2，
∴f′（0）=（-a₁）•（-a₂）•…•（-a₉）=-a₁•a₂•…•a₉，
=（a₁a₉）•（a₂a₈）•…•（a₄a₆）（a₅）
=-2²•2²•2²•2²•2=-2⁹=-512，
∴函數(shù)f（x） 在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率為-512．
故答案為：-512．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，求導(dǎo)法則，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，以及直線的點(diǎn)斜式方程，其中利用等比數(shù)列的性質(zhì)及求導(dǎo)法則求出f′（0）的值即切線方程的斜率是解本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．