Question

設函數(shù)y=

4-x2

2

的圖象是曲線C．
（Ⅰ）在如圖的坐標系中作出曲線C的示意圖，并標出曲線C與x軸的左、右交點A₁，A₂；
（Ⅱ）設P是曲線C上位于第一象限的任意一點，過A₂作A₂R垂直于直線A₁P于R，設A₂R與曲線C交于Q，求直線PQ斜率的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）y=

4-x2

2

兩邊平方后移項得

x2

4

+y2=1，y≥0，可得函數(shù)的圖象，曲線C與x軸的左、右交點A₁，A₂；
（Ⅱ）先考察一般性，直線A₁P的方程是y=k（x+a），與橢圓方程聯(lián)立，求得P，Q的坐標，可得直線PQ斜率，即可求出取值范圍．

解答： 解：（I）y=

4-x2

2

兩邊平方后移項得

x2

4

+y2=1，y≥0，
所以曲線C是焦點在x軸上的橢圓的上半部分，A₁，A₂是橢圓的左右頂點，如圖．
（Ⅱ）為了減少計算量，先考察一般性．
設曲線C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，y≥0)，直線A₁P的斜率是k，
因為P是曲線C上位于第一象限內的任意一點，所以k∈(0，

b

a

)，…（5分）
設P，Q的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），則直線A₁P的方程是y=k（x+a），
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=k(x+a)

消去y得，（a²k²+b²）x²+2a³k²x+a²（a²k²-b²）=0，…（7分）
解得

x1= a(b2-a2k2) b2+a2k2 y1= 2ab2k b2+a2k2

．…（8分）
將上式中的a換成-a，k換成-

1

k

得

x2= a(a2-b2k2) a2+b2k2 y2= 2ab2k a2+b2k2

．…（9分）
又上式中的a=2，b=1，代入可解得

x1= 2(1-4k2) 1+4k2 y1= 4k 1+4k2

，

x2= 2(4-k2) 4+k2 y2= 4k 4+k2

，…（10分）
所以kPQ=

y1-y2

x1-x2

=

1

5

(k-

1

k

)，
因為g(k)=k-

1

k

在(0，

1

2

)上單調遞增，所以kPQ∈(-∞，-

3

10

)．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查斜率的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．