Question

2．已知拋物線C的頂點是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的中心，焦點與該橢圓的右焦點F₂重合，若拋物線C與該橢圓在第一象限的交點為P，橢圓的左焦點為F₁，則|PF₁|=（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由橢圓的方程可得a²和b²，進而可得c值，可得拋物線C的焦點，可得p值，進而可得拋物線C的方程，聯(lián)立橢圓與拋物線的方程可得P的坐標，由拋物線的焦半徑公式求得|PF₂|，再由橢圓定義求得|PF₁|．

解答 解：由橢圓的方程可得a²=4，b²=3，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，
故橢圓的右焦點F₂為（1，0），即拋物線C的焦點為（1，0），
故可得$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，故2p=4，
∴拋物線C的方程為：y²=4x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{2\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=-\frac{2\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，
∵P為第一象限的點，∴P（$\frac{2}{3}，\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
∴$|P{F}_{2}|=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，
則$|P{F}_{1}|=2a-|P{F}_{2}|=4-\frac{5}{3}=\frac{7}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查拋物線的標準方程以及橢圓的標準方程，涉及兩點間的距離公式，屬中檔題