Question

對(duì)于函數(shù)f(x)=log

1

2

(x2-2ax+3)，解答下列問題：
（1）若f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，1]內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）的定義域?yàn)镽，則x²-2ax+3＞0恒成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在（-∞，1]內(nèi)為增函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）若f（x）的定義域?yàn)镽，
則x²-2ax+3＞0恒成立，
即△=4a²-4×3＜0，
即a²＜3，
∴-

3

＜a＜

3

，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是-

3

＜a＜

3

；
（2）設(shè)t=g（x）=x²-2ax+3，
則y=log 

1

2

t為減函數(shù)，
要使函數(shù)f（x）在（-∞，1]內(nèi)為增函數(shù)，
則當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)t=x²-2ax+3單調(diào)遞減且此時(shí)t＞0恒成立，
即

- -2a 2 =a≥1 g(1)1+3-2a＞0

，
∴

a≥1 a＜2

，
∴1≤a＜2，
求實(shí)數(shù)a的取值范圍1≤a＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．