Question

已知α，β是方程x²+ax+2b=0的兩根，且α∈[0，1]，β∈[1，2]，a∈R，b∈R，求

b-3

a-3

的最大值與最小值之和為（　　）

• A、

  13

  12

• B、

  3

  2

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃,一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)一元二次方程根的分布得到關(guān)于a，b的不等式組，利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解即可．

解答： 解：設(shè)f（x）=x²+ax+2b，
∵α∈[0，1]，β∈[1，2]，
則

f(0)=2b≥0 f(1)=1+a+2b≤0 f(2)=4+2a+2b≥0

，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

b-3

a-3

的幾何意義為點(diǎn)M（a，b）到定點(diǎn)P（3，3）連線斜率的取值范圍．
由圖象可知直線PA的斜率最小，為

1-3

-3-3

=

-2

-6

=

1

3

，
PB的斜率最大，為

0-3

-1-3

=

3

4

．
∴

b-3

a-3

的最大值與最小值之和為

1

3

+

3

4

=

13

12

，
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用根的分別求出不等式組是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．