Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-4x-1．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=2且x∈（0，1）時(shí)，f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，求m的取值范圍；
（3）若a=0，設(shè)g(x)=

b

x

(b≠0)，且函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）是區(qū)間（1，3）上的單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)定義，即可求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=2且x∈（0，1）時(shí)，將f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即可求m的取值范圍；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立條件關(guān)系即可求出b的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2x²-4x-1
令f（x）=0，得x1=1+

6

2

，x2=1-

6

2

，
∴f（x）的零點(diǎn)是1+

6

2

和1-

6

2

．
（2）∵a=2，∵f（x）=2x²-4x-1=2（x-1）²-3，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（1-m）-f（2m-1）＜0恒成立，
可得f（1-m）＜f（2m-1），
則

1-m＞2m-1 0＜1-m＜1 0＜2m-1＜1

，
解得 

1

2

＜m＜

2

3

，
∴m的取值范圍是

1

2

＜m＜

2

3

．
（3）∵h(x)=

b

x

+4x+1(b≠0)
①若b＜0，h（x）在（1，3）上為單調(diào)增函數(shù)，故成立； 
②若b＞0，則h（x）圖象如圖：
∵h(yuǎn)（x）是（1，3）上的單調(diào)函數(shù)，
∴

b

2

≥3或

b

2

≤1，
∴b≥36或0＜b≤4．
綜上所得，b的取值范圍是b＜0或0＜b≤4或b≥36．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決函數(shù)最值的基本方法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．