Question

如圖，在棱長為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點．
（1）求異面直線AF和BE所成的角的余弦值；
（2）求平面ACC₁與平面BFC₁所成的銳二面角．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AF和BE所成的角的余弦值．
（2）求出平面ACC₁的一個法向量和平面BFC₁的法向量利用向量法能求出平面ACC₁與平面BFC₁所成的銳二面角．

解答： 解：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁分別為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），E（

1

2

，0，1），B（1，1，0），F(xiàn)（1，

1

2

，1）．

AE

=（0，

1

2

，1），

BE

=(-

1

2

，-1，1)，
∴cos＜

AF

，

BE

＞=

1 2

5 4 • 9 4

=

2 5

15

．
∴異面直線AF和BE所成的角的余弦值為

2 5

15

．
（2）∵ABCD是正方形，∴AC⊥DB，
∵正方體AC₁中，CC₁⊥底面ABCD，∴BD⊥CC₁，
∴BD⊥平面ACC₁，∴平面平面ACC₁的一個法向量為

DB

=(1，1，0)，
設(shè)平面BFC₁的法向量為

n

=(x，y，z)，

BC1

=（-1，0，1），
則

n • BF =- 1 2 y+z=0 n • BC1 =-x+z=0

，∴取z=1，得

n

=(1，2，1)，
cos＜

DB

，

n

＞=

1+2

2 • 6

=

3

2

，∵＜

DB

，

n

＞為銳角，
∴所求的銳二面角為

π

6

．

點評：本題考查異面直線所成的角的余弦值的求法，考查二面角的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．