Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（x-

π

4

）+

3

cos2x-3
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[

π

4

，

π

2

]時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2cos（2x+

π

6

）-2，可得周期；
（2）由x的范圍結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=2sin²（x-

π

4

）+

3

cos2x-3
=1-cos（2x-

π

2

）+

3

cos2x-3
=-sin2x+

3

cos2x-2
=2cos（2x+

π

6

）-2，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
∴當(dāng)2x+

π

6

=

2π

3

，即x=

π

4

時，f（x）取最大值-3，
當(dāng)2x+

π

6

=π，即x=

5π

12

時，f（x）取最小值-4

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，涉及三角函數(shù)的周期性和最值，屬基礎(chǔ)題．