Question

如圖，已知點(diǎn)M、N是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的兩棱A₁A與A₁B₁的中點(diǎn)，P是正方形ABCD的中心，
（1）求證：MN∥平面PB₁C．
（2）求證：D₁B⊥平面PB₁C．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）證明PB₁⊥D₁B，AC⊥D₁B，利用線面垂直的判定定理即可證明．

解答： 證明：（1）連接AC，則AC一定過(guò)點(diǎn)P，連接AB₁．
∵A₁M=MA，A₁N=NB₁，∴MN∥AB₁．
又MN?平面AB₁C，AB₁?平面AB₁C，
∴MN∥平面AB₁C，即MN∥平面PB₁C．
（2）連D₁B₁，PB，
∵

D1D

DB

=

PB

BB1

=

1

2

，∠D₁DB=∠PBB₁=90°，
∴△D₁DB∽△PBB₁，
∴∠D₁DB=∠BB₁P，
∵∠PBB₁=90°，
∴∠B₁PB+∠D₁BD=90°，
∴PB₁⊥D₁B①
∴B₁B⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，
∴B₁B⊥AC，
∵AC⊥BD，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥平面B₁D
∵BD₁?平面B₁D，
∴AC⊥D₁B②
∵PB₁∩AC=P以及 ①②得：D₁B⊥平面PB₁C．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面平行、垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．