Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，△ABE為等腰直角三角形，∠BAE=90°，且AD⊥AE．
（Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面BED．
（Ⅱ）求直線EC與平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AE、AB、AD分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，證明

BD

•

AC

=0，

BD

•

AE

=0，可得BD⊥AC，BD⊥AE，即可證明BD⊥平面AEC，從而平面AEC⊥平面BED．
（Ⅱ）求出平面BED的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線EC與平面BED所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：以A為原點(diǎn)，AE、AB、AD分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．…（1分）
設(shè)正方形邊長為2，則E（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2），D（0，0，2）…（2分）

AC

=（0，2，2），

BD

=（0，-2，2），

AE

=（2，0，0），

ED

=（-2，0，2），
從而有

BD

•

AC

=0，

BD

•

AE

=0，
即BD⊥AC，BD⊥AE，
因?yàn)锳C∩AE=A，
所以BD⊥平面AEC，
因?yàn)锽D?平面BED，
所以平面BED⊥平面AEC．…（6分）
（Ⅱ）解：設(shè)平面BED的法向量為

n

=（x，y，z），
則

z=x y=z

，故取

n

=（1，1，1）…（8分）
而

EC

=（-2，2，2），設(shè)直線EC與平面BED所成的角為θ，
則有sinθ=|cos＜

n

，

EC

＞|=

| n • EC |

| n || EC |

=

1

3

         …（12分）

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的判定、直線與平面所成的角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確求向量是關(guān)鍵．