【題目】若存在實數(shù)使得則稱是區(qū)間的一內(nèi)點.
(1)求證:的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點;
(2)若實數(shù)滿足:求證:存在,使得是區(qū)間的一內(nèi)點;
(3)給定實數(shù),若對于任意區(qū)間,是區(qū)間的一內(nèi)點,是區(qū)間的一內(nèi)點,且不等式和不等式對于任意都恒成立,求證:
【答案】(1)證明過程見解析 (2)證明過程見解析 (3)證明過程見解析
【解析】
(1)先理解定義,再由已知證明的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點;
(2)用作差法判斷的大小關(guān)系,得,結(jié)合(1)即可得證;
(3)由已知可得恒成立,由二次不等式恒成立問題可得,且,解得,同理,即可得解.
解:(1)①若是區(qū)間的一內(nèi)點,
則存在實數(shù)使得,則,
②若,取,則,且,
則是區(qū)間的一內(nèi)點,
故的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點;
(2)由,,
則,由(1)知,存在,使得是區(qū)間的一內(nèi)點;
(3)因為是區(qū)間的一內(nèi)點,則
則恒成立,
則恒成立,
當時,上式不可能恒成立,
因此,
所以,
即,即 ,
同理,
故.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱柱中,平面是線段上的動點,是線段上的中點.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若,且直線所成角的余弦值為,試指出點在線段上的位置,并求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為了檢查生產(chǎn)產(chǎn)品的甲、乙兩條流水線的生產(chǎn)情況,隨機地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取50件產(chǎn)品作為樣本,測出它們的這一項質(zhì)量指標值.若該項質(zhì)量指標值落在內(nèi),則為合格品,否則為不合格品.下表是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,下圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
甲流水線樣本的頻數(shù)分布表
質(zhì)量指標值 | 頻數(shù) |
9 | |
10 | |
17 | |
8 | |
6 |
乙流水線樣本的頻率分布直方圖
(1)根據(jù)圖形,估計乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項質(zhì)量指標值的中位數(shù);
(2)設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)一件合格品獲利100元,生產(chǎn)一件不合格品虧損50元,若某個月內(nèi)甲、乙兩條流水線均生產(chǎn)了1000件產(chǎn)品,若將頻率視為概率,則該企業(yè)本月的利潤約為多少元?
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,點是橢圓的一個頂點,是等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點分別作直線,交橢圓于,兩點,設(shè)兩直線的斜率分別為,,且,證明:直線過定點.
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【題目】某廠家擬在2020年舉行促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,某產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)萬件與年促銷費用萬元,滿足(為常數(shù)),如果不搞促銷活動,則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件,已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件,該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
(1)將2020年該產(chǎn)品的利潤(萬元)表示為年促銷費用(萬元)的函數(shù);
(2)該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與橢圓有一個相同的焦點,過點且與軸不垂直的直線與拋物線交于,兩點,關(guān)于軸的對稱點為.
(1)求拋物線的方程;
(2)試問直線是否過定點?若是,求出該定點的坐標;若不是,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)函數(shù)是否有極值?若有,求出極值;若沒有,說明理由.
(2)若對任意,,求實數(shù)的取值范圍.
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