Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD且EF=

1

2

BD．
（1）求證：BF∥平面ACE；
（2）求證：平面EAC⊥平面BDEF
（3）求幾何體ABCDEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）記AC與BD的交點(diǎn)為O，則DO=BO=

1

2

BD，連接EO，則可證出四邊形EFBO是平行四邊形，從而BF∥EO，最后結(jié)合線面平行的判定定理，可得BF∥平面ACE；
（2）利用面面垂直的判定定理證明平面EAC⊥平面BDEF；
（3）利用條件公式求幾何體的條件．

解答： （1）證明：記AC與BD的交點(diǎn)為O，則DO=BO=

1

2

BD，連接EO，
∵EF∥BD且EF=

1

2

BD，
∴EF∥BO且EF=BO，則四邊形EFBO是平行四邊形，
∴BF∥EO，
又∵EO?面ACE，BF?面ACE，
∴BF∥平面ACE； 
（2）證明：∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴ED⊥AC．
∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC，
又ED∩BD=D，∴AC⊥平面BDEF，
又AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；
（3）解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，
又∵EF∥BD且EF=

1

2

BD，∴BDEF是直角梯形，
又∵ABCD是邊長為2的正方形，BD=2

2

，EF=

2

，
∴梯形BDEF的面積為

( 2 +2 2 )×1

2

=

3 2

2

，
由（1）知AC⊥平面BDEF，
∴幾何體的體積VABCDEF=2VA-BDEF=2×

1

3

SBDEF•AO=2×

1

3

×

3 2

2

×

2

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)特殊多面體為例，考查了線面平行的判定定理、面面垂直的判定理、空間幾何體的體積，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理，屬于中檔題．