Question

1．如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=$\sqrt{2}$，若E是側(cè)棱PD的中點(diǎn)
（Ⅰ）證明：PA⊥平面ABCD
（Ⅱ）求直線CE與底面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得PA⊥AB，PA⊥AD，由此能證明PA⊥平面ABCD．
（2）過點(diǎn)E作EO⊥平面ABCD，交AD于點(diǎn)O，連結(jié)CO，則∠ECO是直線CE與底面ABCD所成角，由此能求出直線CE與底面ABCD所成角的大�。�

解答 證明：（1）∵在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=$\sqrt{2}$，
∴AB²+PA²=PB²，AD²+PA²=PD²，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
解：（2）∵E是側(cè)棱PD的中點(diǎn)
∴過點(diǎn)E作EO⊥平面ABCD，交AD于點(diǎn)O，連結(jié)CO，
則∠ECO是直線CE與底面ABCD所成角，CO=$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}$，
∵四棱錐P-ABCD中∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=$\sqrt{2}$，
∴DO=$\frac{1}{2}$，CO=$\sqrt{1+\frac{1}{4}-2×1×\frac{1}{2}×cos60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴tan$∠ECO=\frac{EO}{CO}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ECO=30°，
∴直線CE與底面ABCD所成角的大小為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．