Question

9．如圖，幾何體ABCDEF中，四邊形ABEF為矩形，ABCD為梯形，平面ABEF⊥平面ABCD，AB∥CD，AB=4，AF=AD=CD=2，AD⊥BD，O為AB的中點(diǎn)．
（1）證明：AD⊥平面BDE；
（2）在線段DE上是否存在點(diǎn)N，使得ON∥平面ADF？說(shuō)明理由；
（3）求點(diǎn)C到平面BDF的距離．

Answer 1

分析 （1）證明BE⊥平面ABCD，可得BE⊥AD，利用AD⊥BD，即可證明AD⊥平面BDE；
（2）取DE中點(diǎn)記作N，設(shè)DF的中點(diǎn)為N，連接AM，MN，證明MNOA為平行四邊形，即可說(shuō)明ON∥平面ADF；
（3）利用等體積，即可求點(diǎn)C到平面BDF的距離．

解答 （1）證明：∵平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，
∴BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥AD，
∵AD⊥BD，BD∩BE=B，
∴AD⊥平面BDE；
（2）解：取DE中點(diǎn)記作N，設(shè)DF的中點(diǎn)為N，連接AM，MN
則MN平行且等于$\frac{1}{2}$CD，
又AO平行且等于$\frac{1}{2}$CD，則MN平行且等于AO，
∴MNOA為平行四邊形，
∴ON∥AM，
又AM?平面DAF，ON?平面DAF，
∴ON∥平面DAF；
（3）解：△BFD中，BD=2$\sqrt{3}$，DF=2$\sqrt{2}$，BF=2$\sqrt{5}$，
∴BD²+DF²=BF²，
∴BD⊥FD，
∴S_△BDF=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{2}$=2$\sqrt{6}$，
設(shè)點(diǎn)C到平面BDF的距離為h．
∵S_△BDC=$\frac{1}{2}×2×2×sin120°$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{6}$h，
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即點(diǎn)C到平面BDF的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，直線與平面平行的性質(zhì)，平面與平面垂直的判定，�？碱}型．