Question

12．已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD．異面直線PB與CD所成的角為45°．求：
（1）二面角B-PC-D的大��；
（2）直線PB與平面PCD所成的角的大�。�

Answer 1

分析 （1）作BE⊥PC于E，連接ED，由已知推導出∠BED就是二面角B-PC-D的平面角，由此能求出二面角B-PC-D的大小．
（2）還原棱錐為正方體ABCD-PB₁C₁D₁，作BF⊥CB₁于F，連接PF，則∠BPF就是直線PB與平面PCD所成的角，由此能求出直線PB與平面PCD所成的角的大�。�

解答 解：（1）∵AB∥CD，∴∠PBA就是PB與CD所成的角，即∠PBA=45°，…（1分）
∴PA=AB，作BE⊥PC于E，連接ED，
在△ECB和△ECD中，BC=CD，CE=CE，∠ECB=∠ECD，
∴△ECB≌△ECD，
∴∠CED=∠CEB=90°，
∴∠BED就是二面角B-PC-D的平面角．…（4分）
設AB=a，則BD=PB=$\sqrt{2}a$，PC=$\sqrt{3}a$，
BE=DE=$\frac{PB•BC}{PC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
cos∠BED=$\frac{B{E}^{2}+D{E}^{2}-B{D}^{2}}{2×BE×DE}$=-$\frac{1}{2}$，∴∠BED=120°
二面角B-PC-D的大小為120°．…（6分）
（2）還原棱錐為正方體ABCD-PB₁C₁D₁，作BF⊥CB₁于F，
∵平面PB₁C₁D₁⊥平面B₁BCC₁，
∴BF⊥平面PB₁CD，…（8分）
連接PF，則∠BPF就是直線PB與平面PCD所成的角．…（10分）
BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，PB=$\sqrt{2}a$，sin∠BPF=$\frac{1}{2}$，∠BPF=30°．
∴直線PB與平面PCD所成的角為30°．…（12分）

點評 本題考查二面角的大小的求法，考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．