Question

已知某池塘養(yǎng)殖著鯉魚和鯽魚，為了估計(jì)這兩種魚的數(shù)量，養(yǎng)殖者從池塘中捕出兩種魚各1000只，給每只魚做上不影響其存活的標(biāo)記，然后放回池塘，待完全混合后，再每次從池塘中隨機(jī)的捕出1000只魚，記錄下其中有記號(hào)的魚的數(shù)目，立即放回池塘中．這樣的記錄做了10次，并將記錄獲取的數(shù)據(jù)做成以下的莖葉圖（圖1）．

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖計(jì)算有記號(hào)的鯉魚和鯽魚數(shù)目的平均數(shù)，并估計(jì)池塘中的鯉魚和鯽魚的數(shù)量；
（Ⅱ）為了估計(jì)池塘中魚的總重量，現(xiàn)從中按照（Ⅰ）的比例對(duì)100條魚進(jìn)行稱重，據(jù)稱重魚的重量介于（0，4.5]（單位：千克）之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成九組：第一組[0，0.5）、第二組[0.5，1）；…，第九組[4，4.5）．圖2是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．
①估計(jì)池塘中魚的重量在3千克以上（含3千克）的條數(shù)；
②若第二組、第三組、第四組魚的條數(shù)依次成公差為7的等差數(shù)列，請(qǐng)將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；
③在②的條件下估計(jì)池塘中魚的重量的眾數(shù)、中位數(shù)及估計(jì)池塘中魚的總重量；
（Ⅲ）假設(shè)隨機(jī)地從池塘逐只有放回的捕出5只魚中出現(xiàn)鯉魚的次數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布表,頻率分布直方圖

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖可知，鯉魚與鯽魚的平均數(shù)目，從而估計(jì)鯉魚數(shù)目、鯽魚數(shù)目400． （Ⅱ）①根據(jù)題意，結(jié)合直方圖可知，即可估計(jì)池塘中魚的重量在3千克以上（含3千克）的條數(shù)．
②確定頻率，可將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整．
③眾數(shù)為2.25千克，中位數(shù)為2.02千克，平均數(shù)為2.02千克，可求魚的總重．
（Ⅲ）由于隨機(jī)變量ξ滿足B（5，

4

5

），即可求出數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖可知，鯉魚與鯽魚的平均數(shù)目為80，20，估計(jì)鯉魚數(shù)目16000，鯽魚數(shù)目4000．（Ⅱ）①根據(jù)題意，結(jié)合直方圖可知，估計(jì)池塘中魚的重量在3千克以上（含3千克）的條數(shù)為2400條．
②頻率分別為0.08、0.15、0.22，可將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整．
③眾數(shù)為2.25千克，中位數(shù)為2.02千克，平均數(shù)為2.02千克，所以魚的總重為2.02×20000=40400千克．
（Ⅲ）結(jié)合二項(xiàng)分布可知，由于隨機(jī)變量ξ滿足B（5，

4

5

），數(shù)學(xué)期望Eξ=5×

4

5

=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要是考查了統(tǒng)計(jì)中莖葉圖以及直方圖和概率的求解運(yùn)用，屬于中檔題．