如圖三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱與底面垂直,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:A1B∥平面C1AD;
(Ⅱ)若在三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)部(含表面)隨機(jī)投放一個(gè)點(diǎn)P,求點(diǎn)P落在三棱錐C1-A1AD內(nèi)部(含表面)的概率.
考點(diǎn):直線與平面平行的判定,幾何概型
專題:空間位置關(guān)系與距離,概率與統(tǒng)計(jì)
分析:(Ⅰ)根據(jù)線面平行的判定定理即可證明:A1B∥平面C1AD;
(Ⅱ)根據(jù)幾何概型的概率公式求出相應(yīng)的體積,利用體積之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.
解答: 解:(Ⅰ)連接A1C,交AC1于點(diǎn)E,連接DE,在△A1BC中DE是中位線,
故DE∥A1B,
∵DE⊆面C1AD,A1B?面C1AD,
∴A1B∥平面C1AD.
(Ⅱ)設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為h,則VABC-A1B1C1=
3
4
a2h
,
因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn),過(guò)D作AC的垂線交AC于F,有DF=
3
4
a
,
VC1-A1AD=VD-A1AC1=
1
3
3
4
a•
1
2
ah

所以點(diǎn)P落在三棱錐C1-A1AD內(nèi)部(含表面)的概率
1
6
點(diǎn)評(píng):本題主要考查空間直線和平面平行的判定以及與體積有關(guān)的概率計(jì)算,要求熟練掌握相應(yīng)的公式和判定定理.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知cosα=
1
3
,cosβ=
7
9
,且α,β∈(0,
π
2
),則cos(α-β)=(  )
A、-
1
2
B、
23
27
C、
1
2
D、-
23
27

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinx-sin(x-
π
3

(Ⅰ)求f(
π
6
);
(Ⅱ)求f(x)在[-
π
2
,
π
2
]上的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,正方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),其中點(diǎn)A(-3,4),AB邊與y軸交與點(diǎn)D.
(1)求直線AB解析式;
(2)求△AOD的面積及其外接圓的面積;
(3)問(wèn)△AOD的外接圓與BC所在的直線是否相切?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,F(xiàn)C⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.
(1)求證:BD⊥平面AED;
(2)求二面角F-BD-C的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知某池塘養(yǎng)殖著鯉魚(yú)和鯽魚(yú),為了估計(jì)這兩種魚(yú)的數(shù)量,養(yǎng)殖者從池塘中捕出兩種魚(yú)各1000只,給每只魚(yú)做上不影響其存活的標(biāo)記,然后放回池塘,待完全混合后,再每次從池塘中隨機(jī)的捕出1000只魚(yú),記錄下其中有記號(hào)的魚(yú)的數(shù)目,立即放回池塘中.這樣的記錄做了10次,并將記錄獲取的數(shù)據(jù)做成以下的莖葉圖(圖1).

(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖計(jì)算有記號(hào)的鯉魚(yú)和鯽魚(yú)數(shù)目的平均數(shù),并估計(jì)池塘中的鯉魚(yú)和鯽魚(yú)的數(shù)量;
(Ⅱ)為了估計(jì)池塘中魚(yú)的總重量,現(xiàn)從中按照(Ⅰ)的比例對(duì)100條魚(yú)進(jìn)行稱重,據(jù)稱重魚(yú)的重量介于(0,4.5](單位:千克)之間,將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成九組:第一組[0,0.5)、第二組[0.5,1);…,第九組[4,4.5).圖2是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.
①估計(jì)池塘中魚(yú)的重量在3千克以上(含3千克)的條數(shù);
②若第二組、第三組、第四組魚(yú)的條數(shù)依次成公差為7的等差數(shù)列,請(qǐng)將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整;
③在②的條件下估計(jì)池塘中魚(yú)的重量的眾數(shù)、中位數(shù)及估計(jì)池塘中魚(yú)的總重量;
(Ⅲ)假設(shè)隨機(jī)地從池塘逐只有放回的捕出5只魚(yú)中出現(xiàn)鯉魚(yú)的次數(shù)為ξ,求ξ的數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

解方程:
(1)3x-5x-2=3x-4-5x-3;
(2)logx(9x2)•log32x=4.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

命題p:“對(duì)?x∈R,x2-2x+m≥0恒成立”,命題q:“方程
x2
m-4
+
y2
6-m
=1表示雙曲線”.
(1)若p為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若p∧q是假命題,p∨q是真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

化簡(jiǎn)sin2α+sin2β-sin2αcos2β-sin2αsin2β的結(jié)果為
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案