Question

如圖四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，ADCD，且AD=CD=2

2

，BC=4

2

，PA=2，點M在線段PD上．
（1）求證：AB⊥PC．
（2）若二面角M-AC-D的大小為45°，求BM與平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)E為BC的中點，連接AE，證明AB⊥PC，只需證明AB⊥平面PAC，只需證明AB⊥AC，AB⊥PA．
（2）設(shè)AC∩BD=O，連接OP，過點M作MN⊥AD，過點N作NG⊥AC于G，連接MG，證明∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，即∠MGN=45°，M為PD的中點，連接PO交BM于H，連接AH，證明∠BHA是BM與平面PAC所成的角，即可求BM與平面PAC所成的角的正弦值．

解答： （1）證明：設(shè)E為BC的中點，連接AE，則AD=EC，AD∥EC，
∴四邊形AECD為平行四邊形，
∴AE⊥BC
∵AE=BE=EC=2

2

，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴AB⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥PA
∵AC∩PA=A，
∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥PC．
（2）設(shè)AC∩BD=O，連接OP，過點M作MN⊥AD，過點N作NG⊥AC于G，連接MG，則MN∥PA，
由PA⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，
∴MN⊥AC，
∵NG⊥AC，MN∩NG=N，
∴AC⊥平面MNG，
∴AC⊥MG，
∴∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，即∠MGN=45°
設(shè)MN=x，則NG=AG=x，∴AN=ND=

2

x，
可得M為PD的中點，連接PO交BM于H，連接AH，
由（1）AB⊥平面PAC，∴∠BHA是BM與平面PAC所成的角
在△ABM中，AB=4，AM=

1

2

PD=

3

，BM=3

3

，
∴cos∠ABM=

5 3

9

，
∵∠BHA與∠ABM互余，
∴BM與平面PAC所成的角的正弦值為

5 3

9

．

點評：本題考查線面垂直，線線垂直，考查面面角，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，正確作出線面角是關(guān)鍵．