Question

已知分別以d₁，d₂為公差的等差數(shù)列{a_n}，{b_n}．
（Ⅰ）若a₁=1，d₁=1，且存在正整數(shù)m，使得a_m²=b_m+2009-2009，求證：d₂≥80．
（Ⅱ）若a₁=1，b₂₀₀₉=409，a_k=0，b_k=1600，且數(shù)列a₁，a₂，…a_k-1，b_k，b_k+1，b_k+2…，b₂₀₀₉的前n項(xiàng)和S_n滿足S₂₀₀₉=2012S_k+9045，求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）對(duì)于給定的正整數(shù)m，若a₁²+a²_m+1=1，求S=a_m+1+a_m+2+…+a_2m+1的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出m²=409+md₂-2009，由此利用均值定理能夠證明d₂≥80．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出S₂₀₀₉=

k

2

+

409×(3000-k)

2

，從而求出k=1000，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）S=a_m+1+a_m+2+…+a_2m+1=

(m+1)(am+1+a2m+1)

2

，設(shè)a_m+1+a_2m+1=A，推導(dǎo)出10a12+2Aa₁+A²-9=0，由此利用根的判別式能求出S=a_m+1+a_m+2+…+a_2m+1的最大值．

解答： （Ⅰ）證明：分別以d₁，d₂為公差的等差數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=1，d₁=1，
∵a_m²=b_m+2009-2009，
∴[a₁+（m-1）d₁]²=b₂₀₀₉+md₂-2009，
即m²=409+md₂-2009，
∴d2=m+

1600

m

≥2

m• 1600 m

=80．
（Ⅱ）解：∵a₁=1，b₂₀₀₉=409，a_k=b_k=0，
a₁，a₂，…a_k-1，b_k，b_k+1，b_k+2…，b₂₀₀₉的前項(xiàng)n和S_n滿足S₂₀₀₉=2012S_k+9045，
∴S₂₀₀₉=（a₁+a₂+…+a_k-1）+（b_k+b_k+1+…+b₂₀₀₉）
=

(k-1)(a1+ak-1)

2

+

(2009-k+1)(bk+b2009)

2

=

k(a1+ak)

2

+

(2009-k+1)(bk+b2009)

2

=

k

2

+

409×(3000-k)

2

，
∵S₂₀₀₉=2012S_k+9045
=2012•

k(a1+ak)

2

+9045
=2012•

k

2

+9045，
∴2012•

k

2

+9045=

k

2

+

409×(3000-k)

2

，
∴4020k=2009×2010-18090，
∴2k=2009-9，
∴k=1000，
∴a₁₀₀₀=0，又a₁=1，∴d₁=-

1

999

，
∴a_n=a₁+（n-1）d₁=

1000

999

-

n

999

．
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

1000

999

-

n

999

．
（Ⅲ）解：S=a_m+1+a_m+2+…+a_2m+1=

(m+1)(am+1+a2m+1)

2

，
設(shè)a_m+1+a_2m+1=A，
則A=a_m+1+a_2m+1+a₁-a₁=3a_m+1-a₁，
則am+1=

A+a1

3

，
∵a₁²+a²_m+1=1，∴10a12+2Aa₁+A²-9=0，
由△=4A²-40（A²-9）≥0，得-

10

≤A≤

10

，
∴S=

(m+1)(am+1+a2m+1)

2

=

(m+1)A

2

≤

10 (m+1)

2

．
∴S=a_m+1+a_m+2+…+a_2m+1的最大值為

10 (m+1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．