Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x+2的圖象上（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=

an

3n

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x+2的圖象上，得a_n+1=a_n+2，由此能證明{a_n}是等差數(shù)列，并能求出a_n=2n-1．
（2）由（1）知b_n=

an

3n

=

2n-1

3n

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x+2的圖象上，
∴a_n+1=a_n+2，
∴a_n+1-a_n=2，∵a₁=1，
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1．
（2）解：由（1）知b_n=

an

3n

=

2n-1

3n

，
∴S_n=

1

3

+

3

32

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，①

1

3

S_n=

1

32

+

3

33

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

，②
①-②得

2

3

S_n=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

2 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

，
∴Sn=1-

n+1

3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．