Question

數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，且a_n+S_n=-2n-1（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+na_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列；
（2）利用累加法，即可求出數(shù)列的通項公式．

解答： 證明：（1）∵a_n+S_n=-2n-1，
∴a_n+1+S_n+1=-2n-3，
以上兩式相減得，a_n1-a_n+S_n+1-S_n=-2，
∴a_n+1=a_n-2．
∴2（a_n+1+2）=a_n+2，且當(dāng)n=1時，a₁+S₁=-3，即a₁=-

3

2

，
∵a₁+2=

1

2

≠0，∴a_n+2≠0，∴

an+1+2

an+2

=

1

2

．
∴{a_n+2}是以

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）的結(jié)論易知a_n+2=

1

2

•（

1

2

）^n-1=（

1

2

）ⁿ，
∴a_n═（

1

2

）ⁿ-2．
∵b_n+1=b_n+na_n，∴b_n+1-b_n=na_n=n（

1

2

）ⁿ-2n，
∴bn=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+[1×

1

2

-2]+[2×(

1

2

)2-2×2]+…+[（n-1）•(

1

2

)n-1-2(n-1)]
=1+[1×(

1

2

)+2×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-1]-2[1+2+…+（n-1）]
=1+[1×(

1

2

)+2×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-1]-n（n-1）．
令T=1+[1×(

1

2

)+2×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-1]，

1

2

T=

1

2

+（

1

2

）²+2×（

1

2

）³+…+（n-2）×+（

1

2

）^n-1+（n-1）×+（

1

2

）ⁿ，
∴T-

1

2

T=

1

2

T=1+（

1

2

）²++（

1

2

）³+…++（

1

2

）^n-1-（n-1）×（

1

2

）ⁿ，
∴

1

2

T=

1

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n-1）×（

1

2

）ⁿ，
=

3

2

-（n+1）×（

1

2

）ⁿ，
即T=3-（n+1）×（

1

2

）^n-1．
∴b_n=T-n（n-1）=3-（n+1）×（

1

2

）^n-1-n（n-1），
即b_n=3-（n+1）×（

1

2

）^n-1-n（n-1）．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義，以及利錯位相減法求數(shù)列的通項公式，運算量較大，綜合性較強．