Question

（2012•閔行區(qū)一模）已知橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l與圓x²+y²=3相切于點(diǎn)Q，且Q在y軸的右側(cè)，設(shè)直線(xiàn)l交橢圓E于不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）若直線(xiàn)l的傾斜角為

π

4

，求直線(xiàn)l的方程；
（2）求證：|AF|+|AQ|=|BF|+|BQ|．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+m，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求m，進(jìn)而可求直線(xiàn)方程
（2）由△AOQ為直角三角形，利用兩點(diǎn)間的距離公式及勾股定理可求AQ，結(jié)合A在橢圓上可得A的坐標(biāo)滿(mǎn)足的方程，從而可用x₁表示AQ，同理可得AF，利用橢圓的定義即可證明

解答：解：（1）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+m，
則有

|m|

2

=

3

，得m=±

6

…（3分）
又切點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)，所以m=-

6

，…（2分）
所以直線(xiàn)l的方程為y=x-

6

…（2分）
證明：（2）因?yàn)椤鰽OQ為直角三角形，所以|AQ|=

OA2-OQ2

=

x 2 1 + y 2 1 -3

又

x12

4

+

y12

3

=1得|AQ|=

1

2

x1…（2分）
|AF|=

(x1-1)2+ y 2 1

又

x12

4

+

y12

3

=1得|AF|=2-

1

2

x1…（2分）
所以|AF|+|AQ|=2，同理可得|BF|+|BQ|=2…（2分）
所以|AF|+|AQ|=|BF|+|BQ|…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式在求解直線(xiàn)方程中的應(yīng)用，橢圓的定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用